See wikipedia
It is an antiderivation of degree 1 on the exterior algebra.
1. For a 0-form $df$ is the differential of $f$
2. $d(df)=0$ for 0-forms (for the other differential forms can be deduced)
3. $d(\alpha \wedge \beta)=d \alpha \wedge \beta+(-1)^{p}(\alpha \wedge d \beta)$ where $\alpha$ is a $p$-form.
See also: visualization of k-forms.
Debería ser llamada el medidor de acumulación negativa o medidor de producción.
En caso de funciones (0-formas). La función podría estar indicando inyección de cierto material en un punto del espacio. La diferencial $df$ nos dice cuánto se está "produciendo" en un elemento de línea $X=P_1P_2$:
$$ df(X)=f(P_2)-f(P_1) $$cuando $P_1$ y $P_2$ están suficientemente cerca, claro.
En caso de 1-formas $\omega$, que asocian valores a elementos de línea, la diferencial exterior nos dice cuánto de algo se está produciendo en un bivector (una "bidirección", un elemento de área). Si nos restringimos a ese elemento de área $u\wedge v$ (mediante una especie de pullback) la 1-forma se puede ver como una especie de flujo, y $dw(u,v)$ mide cuánto de ese flujo se está produciendo en $u\wedge v$. This is the idea of the infinitesimal Stokes' theorem. In a sense, the value of $d\omega$ in $u\wedge v$ is like measuring how the 1-form varies "along the bivector" $u\wedge v$.
En el caso de 2-formas, por ejemplo en $\mathbb{R}^3$, estas se ven como "paquetitos de fibras 1-dimensionales" en un entorno de cada punto (en $\mathbb{R}^n$ son paquetitos de fibras $(n-2)$-dimensionales). El valor que asocian a cada bivector es la "densidad de cortes" de esas fibras con el bivector. Si aplicamos su diferencial a un elemento de volumen (3-vector) tenemos algo totalmente análogo a lo dicho más arriba: haciendo pullback a ese "espacio tridimensional infinitamente pequeño" la 2-forma se sigue viendo como un flujo unidimensional, y su diferencial nos dice cuánto se está produciendo dentro (a lo que sale le resto lo que ha entrado). Si en vez de en $\mathbb{R}^3$ estuviésemos en un $\mathbb{R}^n$, el pullback de la 2-forma al 3-vector se ve como una flujo 1-dimensional, aunque en $\mathbb{R}^n$ no lo sea.
From here it shouldn't be difficult understand why
$$ d^2=0. $$For 0-forms it is easy: if $\omega=df$, the 2-form $d\omega$ is computed evaluating $\omega$ in sides of the parallelogram $u\wedge v$, which in turn is evaluated in the "vertices". But the latter appear twice in the final computation, but with different sign.
For a 1-form is the same, but a bit more difficult to visualize. In this case $d(d\omega)$ is evaluated in a parallelepiped, and the computation rests, finally, at evaluation on the edges, which appear twice with opposite sign.
The interpretation of $d\omega$ as production (negative accumulation) of a flow in a $k$-vector makes Stokes' theorem trivial. By the way, this interpretation is in some sense given in @needham2021visual page 409.
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Author of the notes: Antonio J. Pan-Collantes
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